Paul Hoffman – La vendetta di Archimede – Gioie e insidie della matematica (1988)

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Le gioie della matematica sono più numerose delle insidie. Le strade per raggiungerle sono infinite. Diventiamo migliori anche se ne percorriamo solo qualche tratto.

Questa frase del nostro matematico Roberto Vacca, posta al termine di questo saggio, spiega per bene qual’è la sua funzione: svelare aspetti per molti sconosciuti di questa scienza, che può essere anche stimolante, sorprendente, perfino divertente, oltre ad avere infiniti – e spesso sconosciuti – campi di applicazione. Per molti la matematica è strettamente legata a ricordi scolastici, spesso spiacevoli, che rende a un’ampia maggioranza questa dottrina decisamente avversa; questo libro, nato dalla penna di Paul Hoffman, caporedattore della celebre rivista Discover, cerca di superare questa visione negativa della matematica, con esempi insoliti e affascinanti, che spesso riportano il lettore indietro di secoli o addirittura di millenni, per capire come la scienza dei numeri ha avuto origine.
Il titolo del saggio è significativo: Archimede di Siracusa, scienziato, matematico e ingegnere greco del III secolo a.C., morì pugnalato da un legionario quando la sua città venne invasa dai Romani. La leggenda vuole che lo stesso Gerone, re di Siracusa, chiese ad Archimede di progettare misure di difesa per bloccare gli attacchi nemici, e che questo progettò specchi concavi in grado di concentrare i raggi del sole e incendiare le navi nemiche in avvicinamento, oltre a immense gru capaci di sollevare e scagliare in lontananza le navi che fossero riuscite a raggiungere la costa. Al di là di queste fantasiose – e decisamente improbabili – voci, Archimede fu un matematico di grande talento e genialità, al punto di essere definito da Voltaire “più fantasioso di Omero”. Sempre secondo la leggenda, egli chiese di poter finire il disegno di un cerchio sulla sabbia prima di essere accoltellato, ma la sua richiesta non venne accettata. Mi hanno portato via il corpo, ma io mi porterò via l’anima, furono le sue ultime parole. 
Non aveva tutti i torti: in passato, durante un accesso di rabbia, lo scienziato formulò un problema di tale incredibile complessità da rimanere inviolato per i secoli a venire. La vendetta di Archimede fu, ovviamente, matematica. Secondo la tradizione è infatti suo il celebre “Problema dei buoi”, che recita quanto segue:

Amico, se partecipi della sapienza, calcola, usando diligenza, qual era il numero dei buoi del Sole che pascolavano nelle pianure della sicula Trinacria, divisi in quattro gruppi di colori diversi: l’uno bianco come il latte, il secondo di color nero lucente, il terzo fulvo e il quarto screziato. In ciascun gruppo c’erano tori in quantità, divisi secondo la seguente proporzione:

1)Tori bianchi = tori fulvi + (1/2 + 1/3) dei tori neri.
2)Tori neri = tori fulvi + (1/4 + 1/5) dei tori screziati.
3)Tori screziati = tori fulvi + (1/6 + 1/7) dei tori bianchi.
4)Vacche bianche = (1/3 + 1/4) di tutti i bovini neri.
5)Vacche nere = (1/4 + 1/5) di tutti i bovini screziati.
6)Vacche screziate = (1/5 + 1/6) di tutti i bovini fulvi.
7)Vacche fulve = (1/6 + 1/7) di tutti i bovini bianchi. 

Amico, se tu dirai veramente quanti erano i buoi del sole, quale era il numero dei ben pasciuti tori e quante erano le vacche di ciascun colore, nessuno dirà che sei ignorante o inesperto sui numeri; tuttavia non sarai ancora annoverato tra i sapienti.

Posto in questa forma il problema è ampiamente risolvibile pur senza approfondite conoscenze matematiche, consistendo in un sistema di sette equazioni contenente otto incognite (quattro tipi di tori e quattro tipi di vacche), il cui risultato più basso ha un valore di 50.389.082 bovini, numero ragionevole per popolare la superficie totale di 2,5 milioni di ettari della Sicilia.
Archimede però aggiunse ulteriori condizioni che resero infinitamente più difficile il problema, riassunte in due equazioni: 

8)Tori bianchi + tori neri = un numero quadrato.
9)Tori screziati + tori fulvi = un numero triangolare.

Se tu troverai queste cose e se in modo comprensibile indicherai tutte le misure, và orgoglioso come colui che ha riportato la vittoria, e sarai giudicato del tutto provetto nella scienza.

I numeri triangolari e quadrati traggono origine dalla scuola di Pitagora (VI secolo a.C.), in cui si aveva l’abitudine di rappresentare i numeri come insieme di punti neri disposti in forma triangolare (alcuni esempi sono il 3, il 6 e il 10) o di quadrato (4, 9, 16), corrispondendo, nel secondo caso, con l’attuale concezione di numero quadrato, dato dal prodotto di un numero per se stesso.

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Esempi di numeri triangolari e quadrati.

Evitando di dilungarci in ulteriori dettagli, la storia della matematica moderna è costellata di tentativi di venire a capo di questo difficilissimo problema, senza successo se non nel ritrovamento di parte delle cifre che compongono questo numero di amplissime dimensioni, sicuramente risultato poco realistico se associato all’argomento del dilemma, ma di sicuro significativo per stabilire chi è realmente “provetto nella scienza”. Fatto sta che il problema è rimasto irrisolto per oltre duemila anni, finché il risultato totale, un numero composto da 206.545 cifre, non venne calcolato nel 1981 dal supercomputer Cray1, al tempo il più potente calcolatore al mondo, in poco più di dieci minuti. Di sicuro la vendetta di Archimede ha avuto un discreto successo presso i suoi successori…
La storia dei numeri è ricca di esempi di applicazioni delle nuove regole matematiche appena scoperte per le tematiche più astruse: il numero della bestia, il celebre 666, che, secondo la Bibbia, identificherebbe l’Anticristo venuto sulla terra, venne ad esempio associato, utilizzando le numerologie più complesse e fantasiose, ai più disparati personaggi pubblici (persino qualche papa), sommando i valori numerici delle lettere che componevano il nome, piuttosto che la data di nascita, o di incoronazione, o persino utilizzando la Cabala ebraica. A quanto pare l’Anticristo non si è mai rivelato sulla terra, al contrario della fantasia e dell’immaginazione di numerosi matematici! 
Hoffman ci offre altri esempi affascinanti di utilizzo originale della matematica: i numeri primi, divisibili soltanto per 1 e per se stessi, oltre a offrire spunti di ricerca interessanti (ad esempio se esistono regole che li legano tra loro), in tempi recenti sono diventati anche estremamente utili per la creazione di messaggi criptati e per la protezione di dati e informazioni: dal puro interesse accademico hanno assunto una valenza pratica che ha fatto storcere il naso a qualche purista, e questo cambiamento viene ironicamente definito da Hoffman come ‘prostituzione dei numeri primi’.
Altri campi di applicazione interessanti sono la creazione di Intelligenze Artificiali (o presunte tali), e la prima, famosissima, ‘macchina pensante’, o macchina di cartadi Turing, in grado, mediante l’utilizzo di processi elementari come cancellare e riscrivere valori unitari, rappresentati su carta da semplici simboli cancellati e riscritti dalla stessa macchina, di effettuare i più complessi calcoli matematici, pur in tempi ovviamente maggiori rispetto all’utilizzo di formule complesse. Sempre parlando intelligenza artificiale sono interessanti gli sviluppi compiuti nel campo delle macchine in grado di giocare a scacchi o backgammon, in cui oltre all’intelligenza ‘pura’, per vincere occorre esperienza e conoscenza di situazioni e possibilità già sperimentate in precedenza (tipica caratteristica dei grandi campioni di scacchi).

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La macchina di Turing alle prese con una semplice operazione di somma: 2 + 5 = 7

Perfino altri campi di studio teoricamente ‘puri’ come la topologia (una branca della matematica che studia particolari figure e forme, come ad esempio il nastro di Moebius, che ha la particolarità di poter essere percorso su entrambi i lati viaggiando sulla stessa superficie) hanno avuto applicazioni pratiche in tempi recenti, come nello studio di particolari molecole presenti nel corpo umano, che possono essere ‘destrogire’ o ‘levogire’ (una spiegazione approssimativa ma chiarificatrice potrebbe semplificare definendole ‘orientate a destra o a sinistra’), con applicazioni in campo chimico o medico.

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Creazione di un nastro di Moebius.

Hoffman passa poi a descrivere applicazioni matematiche ben più complesse ma anche di estrema utilità, come la logica Booleana, alla base del funzionamento dei computer, e alla creazione dei processori paralleli, in grado di compiere e risolvere un alto numero di equazioni e calcoli matematici contemporaneamente. Risalendo al 1988 alcuni di questi approfondimenti fanno a tratti sorridere, anche se è affascinante scoprire come hanno avuto origine molte soluzioni informatiche utilizzate tuttora.
Persino nella creazione di opere architettoniche la matematica ricopre spesso un ruolo fondamentale per risolvere molti problemi di progettazione: viene fornito l’esempio del celebre uovo di Vegreville, in Canada, monumento che creò non pochi problemi matematici al suo creatore, proprio per la sua forma particolare.

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Il celebre uovo di Vegreville

Passando per il dilemma del commesso viaggiatore (percorrere un determinato tragitto all’interno di una città, percorrendo tappe forzate, utilizzando il percorso più breve) o studiando i problemi relativi alla democrazia (la scelta del numero di rappresentanti, la loro distribuzione, e così via), La vendetta di Archimede lascia al lettore l’impressione che il campo di applicazioni della matematica non solo sia sterminato, ma che gran parte delle problematiche legate al mondo moderno siano, in misura più o meno maggiore, legate a essa. Insomma, oltre a poter essere una dottrina divertente e ricca di aneddoti, la matematica può fornire spunti di approfondimento e studio adatti anche ai non addetti ai lavori e a chi ha con lei un rapporto conflittuale: questo saggio può, in tal senso, essere un buon punto di partenza.

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